À propos d'une puissance trente-septième - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

1. Montrer que \(n^{37}-n\) est divisible par \(2\) .

2. Montrer que \(n^{37}-n\) est divisible par \(37\) .

3. Montrer que \(n^{37}-n\) est divisible par \(19\) .

4. En déduire un diviseur à quatre chiffres de \(n^{37}-n\) .

Solution

1. On raisonne par disjonction de cas :

• si \(n \equiv 0 \ [2]\) , alors \(n^{37}-n \equiv 0^{37}-0 \equiv 0 \ [2]\) ;
• si \(n \equiv 1 \ [2]\) , alors \(n^{37}-n \equiv 1^{37}-1 \equiv 0 \ [2]\) .

Ainsi, \(n^{37}-n \equiv 0 \ [2]\) , autrement dit \(n^{37}-n\) est divisible par \(2\) .

2. D'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a : \(n^{37}-n \equiv 0 \ [37]\) , autrement dit \(n^{37}-n\) est divisible par \(37\) .

3. D'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a : \(n^{19} \equiv n \ [19]\) . 
On en déduit que :  \(\begin{align*}n^{37} \equiv n^{19} \times n^{18} \equiv n \times n^{18} \equiv n^{19} \equiv n \ [19]\end{align*}\)  donc \(n^{37}-n \equiv 0 \ [19]\) , autrement dit \(n^{37}-n\) est divisible par \(19\) .

4. D'après les questions 2 et 3, \(n^{37}-n\) est divisible par \(37\) et \(19\) .
Comme \(37\) et \(19\) sont premiers entre eux, on déduit du corollaire du théorème de Gauss que \(n^{37}-n\) est divisible par \(37 \times 19=703\) .
De plus, d'après la question 1, \(n^{37}-n\) est divisible par \(2\) .
Comme \(703\)  et \(2\) sont premiers entre eux, on déduit du corollaire du théorème de Gauss que \(n^{37}-n\) est divisible par \(703 \times 2=1~406\) .