À propos d'une puissance trente-septième - Corrigé

Énoncé

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .

1. Montrer que $n^{37}-n$ est divisible par $2$ .

2. Montrer que $n^{37}-n$ est divisible par $37$ .

3. Montrer que $n^{37}-n$ est divisible par $19$ .

4. En déduire un diviseur à quatre chiffres de $n^{37}-n$ .

Solution

1. On raisonne par disjonction de cas :

• si $n\equiv 0[2]$ , alors $n^{37}-n\equiv 0^{37}-0\equiv 0[2]$ ;
• si $n\equiv 1[2]$ , alors $n^{37}-n\equiv 1^{37}-1\equiv 0[2]$ .

Ainsi, $n^{37}-n\equiv 0[2]$ , autrement dit $n^{37}-n$ est divisible par $2$ .

2. D'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a : $n^{37}-n\equiv 0[37]$ , autrement dit $n^{37}-n$ est divisible par $37$ .

3. D'après le petit théorème de Fermat (forme faible), on a : $n^{19}\equiv n[19]$ . 
On en déduit que :  $\begin{array}{r}{n}^{37}\equiv n^{19}\times n^{18}\equiv n\times n^{18}\equiv n^{19}\equiv n[19]\end{array}$  donc $n^{37}-n\equiv 0[19]$ , autrement dit $n^{37}-n$ est divisible par $19$ .

4. D'après les questions 2 et 3, $n^{37}-n$ est divisible par $37$ et $19$ .
Comme $37$ et $19$ sont premiers entre eux, on déduit du corollaire du théorème de Gauss que $n^{37}-n$ est divisible par $37\times 19=703$ .
De plus, d'après la question 1, $n^{37}-n$ est divisible par $2$ .
Comme $703$  et $2$ sont premiers entre eux, on déduit du corollaire du théorème de Gauss que $n^{37}-n$ est divisible par $703\times 2=1406$ .